Question

如图，A，B 两个小岛相距21海里，B 岛在 A 岛的正南方，现在甲船从 A 岛出发，以9海里/时的速度向 B 岛行驶，而乙船同时以6海里/时的速度离开 B 岛向南偏东60°方向行驶，行驶多少时间后，两船相距最近？并求出两船的最近距离．

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,解三角形

分析：设行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处，分类讨论，利用余弦定理，即可求出行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3

21

海里．

解答： 解：设行驶th后，甲船行驶了9t海里到达C处，乙船行驶了6t海里到达D处．
①当9t＜21，即t＜

7

3

时，C在线段AB上，
此时BC=21-9t．
在△BCD 中，BC=21-9t，BD=6t，∠CBD=180°-60°=120°，
由余弦定理知CD²=BC²+BD²-2BC•BD•cos120°=（21-9t）²+（6t）²-2×（21-9t）•6t•（-

1

2

）=63t²-252t+441=63（t-2）²+189．
∴当t=2时，CD取得最小值3

21

．
②当t=

7

3

时，C与B重合，则CD=6×

7

3

=14＞3

21

．
③当t＞

7

3

时，BC=9t-21，
则CD²=（9t-21）²+（6t）²-2•（9t-21）•6t•cos60°=63t ²-252t+441=63（t-2）²+189＞189．
综上可知，当t=2时，CD取最小值3

21

．
答：行驶2h后，甲、乙两船相距最近为3

21

海里．

点评：本题考查解三角形在生产实际中的应用，考查运算求解能力，推理论证能力，属于中档题．