Question

21．设函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，其中m是实数，设M={m|m＞1}
（1）求证：当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；反之，如果f（x）对所有实数x都有意义，则m∈M；
（2）当m∈M时，求函数f（x）的最小值；
（3）求证：对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

Answer 1

分析：（1）对数的真数构造函数通过m＞1，推出对数的真数大于0，所以当m∈M时，f（x）对所有实数x都有意义；通过f（x）对所有实数x都有意义，求出m的范围说明m∈M．
（2）利用基本不等式以及函数的单调性直接求解即可．
（3）通过函数的最小值以及函数的单调性，直接判断对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

解答：解：（1）函数f(x)=log3(x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

)，
令t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

若m＞1，则

1

m-1

＞0，∴t＞0．
若t＞0，则△=（4m）²-4（4m²+m+

1

m-1

）=-

4(m2-m+1)

m-1

＜0，
∵m²-m+1=（m-

1

2

）²+

3

4

＞0，
∴m＞1，即m∈M．
（2）当m∈M时，t=x2-4mx+4m2+m+

1

m-1

=（x-2m）²+m+

1

m-1

≥m+

1

m-1

，（x=2m时取等号）．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
∴x=2m时f（x）有最小值log₃（m+

1

m-1

）．
（3）∵m+

1

m-1

=m-1+

1

m-1

+1，
又m＞1，∴m-1+

1

m-1

+1≥3，当且仅当m-1=

1

m-1

，即m=2时取等号．
又函数y=log₃t在定义域上是增函数，
所以log₃（m+

1

m-1

）≥1，
∴对每一个m∈M，函数f（x）的最小值都不小于1．

点评：本题考查函数的单调性，函数的最小值的求法，基本不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，计算能力．