Question

9．已知函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）
（1）用“五点法”作出函数图象；
（2）指出它可由函数y=sinx的图象经过哪些变换而得到；
（3）写出函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）用“五点法”列表、描点，作出函数的图象即可；
（2）方法一：由函数y=sinx得到函数$y=sin\frac{x}{2}$的图象，再得到$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的图象，最后得到函数$y=2sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的图象；
方法二：由函数y=sinx得到函数y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象，再得到y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象，最后得到函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象；
（3）根据正弦函数的图象与性质，求出函数y的增区间．

解答 解：（1）函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），
用“五点法”列表如下，

$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$\frac{π}{2}$	$\frac{3π}{2}$	$\frac{5π}{2}$	$\frac{7π}{2}$	$\frac{9π}{2}$
y	0	2	0	-2	0

作出函数的图象如图所示，
；---5′
（2）方法一：将函数y=sinx上的每一点横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数$y=sin\frac{x}{2}$的图象，
再将函数y=sin$\frac{x}{2}$的图象向右平移$\frac{π}{2}$个单位长度，得到$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的图象，
再将函数$y=sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的图象上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），
即得到函数$y=2sin（\frac{x}{2}-\frac{π}{4}）$的图象；---5′
方法二：将函数y=sinx图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度，得到函数y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象，
再将函数y=sin（x-$\frac{π}{4}$）的图象上横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象，
再将函数y=sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象上每一点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），
即可得到函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的图象；
（3）∵函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$），令-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z；
解得-$\frac{π}{2}$+4kπ≤x≤$\frac{3π}{2}$+4kπ，k∈Z；
∴函数y=2sin（$\frac{x}{2}$-$\frac{π}{4}$）的增区间是：[-$\frac{π}{2}$+4kπ，$\frac{3π}{2}$+4kπ]，k∈Z．---5′

点评 本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了“五点法”画图以及图象平移的应用问题，是基础题目．