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【题目】已知函数.

(1)求函数的单调区间;

(2)若上恒成立,求实数的取值范围;

(3)在(2)的条件下(提示:可以用第(2)问的结论),任意的,证明:.

【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析 .

【解析】

(1)确定函数的定义域,求,对分类讨论确定区间的根的情况,从而确定函数的单调区间;

(2)上恒成立,则只需函数即可,故根据第(1)问中函数的单调性,可确定当时函数有最大值,利用导数法可判断,进而可得,从而可求得的范围;

(3)可化为,结合由(2)得,时,,而,故可得,又,进而可证得结果.

(1)函数的定义域为,

①当时,上单调增

②当时,,所以上单调增;

③当时,

得,,所以上单调递增;

得,,所以上单调递减.

(2)由(1)知,当时,上单调增,且

所以上不恒成立;

时,由(1)知,上单调递增,在上单调递减,

所以,故只需即可,

所以当时,;当

所以上单调递减,在上单调递增,

所以,即,又

所以,解得

综上,的取值范围是

(3)注意:用第(2)题的结论:时,

因为,所以,由(2)得,时,

,则,因为,所以,即

因为,所以

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A.年接待游客量逐年增加

B.各年的月接待游客量高峰期大致在8

C.20171月至12月月接待游客量的中位数为30万人

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合格

优秀

合计

男生

720

   

   

女生

   

1020

   

合计

   

   

4000

附:

pk2k0

0.010

0.005

0.001

k0

6.635

7.879

10.828

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