【题目】已知函数.
(1)求函数的单调区间;
(2)若在上恒成立,求实数的取值范围;
(3)在(2)的条件下(提示:可以用第(2)问的结论),任意的,证明:.
【答案】(1)见解析;(2);(3)见解析 .
【解析】
(1)确定函数的定义域,求,对分类讨论确定区间上的根的情况,从而确定函数的单调区间;
(2)若在上恒成立,则只需函数即可,故根据第(1)问中函数的单调性,可确定当时函数有最大值,利用导数法可判断,进而可得,从而可求得的范围;
(3)可化为,结合由(2)得,时,,而,故可得,又,进而可证得结果.
(1)函数的定义域为,.
①当时,在上单调增
②当时,,所以在上单调增;
③当时,
令得,,所以在上单调递增;
令得,,所以在上单调递减.
(2)由(1)知,当时,在上单调增,且,
所以在上不恒成立;
当时,由(1)知,在上单调递增,在上单调递减,
所以,故只需即可,
令,,
所以当时,;当,,
所以在上单调递减,在上单调递增,
所以,即,又,
所以,解得
综上,的取值范围是.
(3)注意:用第(2)题的结论:时,.
,
因为,所以,由(2)得,时,
令,则,因为,所以,即,
因为,所以.
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【题目】某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.根据该折线图,下列结论错误的是( )
A.年接待游客量逐年增加
B.各年的月接待游客量高峰期大致在8月
C.2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30万人
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
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【题目】在某市高中某学科竞赛中,某一个区4000名考生的参赛成绩统计如图所示.
(1)求这4000名考生的竞赛平均成绩(同一组中数据用该组区间中点作代表);
(2)记70分以上为优秀,70分及以下为合格,结合频率分布直方图完成下表,并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关?
合格 | 优秀 | 合计 | |
男生 | 720 |
|
|
女生 |
| 1020 |
|
合计 |
|
| 4000 |
附:
p(k2≥k0) | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】某省新高考将实行“”模式,“3”为全国统考科目语文数学外语,所有学生必考;“1”为首选科目,考生须在物理历史两科中选择一科;“2”为再选科目,考生可在化学生物思想政治地理4个科目中选择两科.某考生已经确定“首选科目”为物理,如果他从“再选科目”中随机选择两科,则思想政治被选中的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】设数列,,的前项和分别为,,,且对任意的都有,已知,数列和是公差不为0的等差数列,且各项均为非负整数.
(1)求证:数列是等差数列;
(2)若数列的前4项删去1项后按原来顺序成等比数列,求所有满足条件的数列;
(3)若,且,,求数列,的通项公式.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1.
(1)求证:AB1⊥平面A1BC1;
(2)若D在B1C1上,满足B1D=2DC1,求AD与平面A1BC1所成的角的正弦值.
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【题目】已知,,其中,函数与关于直线对称.
(1)若函数在区间上递增,求a的取值范围;
(2)证明:;
(3)设,其中恒成立,求满足条件的最小正整数b的值.
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