Question

11．已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（sinα，cosα），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，则$\frac{2si{n}^{2}α+1}{sin2α}$=$\frac{13}{4}$．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinα-2cosα=0，得$co{s}^{2}α=\frac{1}{5}$，sin²α=$\frac{4}{5}$，由此能求出$\frac{2si{n}^{2}α+1}{sin2α}$．

解答 解：∵$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow{b}$=（sinα，cosα），且$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=sinα-2cosα=0，即sinα=2cosα，
∴sin²α+cos²α=5cos²α=1，解得$co{s}^{2}α=\frac{1}{5}$，sin²α=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+1}{sin2α}$=$\frac{2×\frac{4}{5}+1}{2sinαcosα}$=$\frac{\frac{8}{5}+1}{4co{s}^{2}α}$=$\frac{\frac{13}{5}}{4×\frac{1}{5}}$=$\frac{13}{4}$．
故答案为：$\frac{13}{4}$．

点评 本题考查三角函数化简求值，是基础题，解题时要认真审题，注意向量垂直、同角三角函数关系式的合理运用．