【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.
(Ⅰ)求证:AA1⊥平面ABC;
(Ⅱ)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(Ⅲ)证明:在线段BC1存在点D,使得AD⊥A1B,并求的值.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直,依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角,往往利用“作——证——求”的思路完成,作二面角是常常利用直线和平面垂直.第(Ⅲ)题,求解有难度,可以空间向量完成.
(Ⅰ)因为为正方形,所以.
因为平面ABC⊥平面AA1C1C,,且平面ABC平面AA1C1C ,
所以⊥平面ABC.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ⊥AC, ⊥AB.
由题意知,所以.
如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则.
设平面的法向量为,则即
令,则,所以.
同理可得,平面的法向量为.
所以.
由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.
(Ⅲ)设是直线上的一点,且.
所以,解得,所以.
由,即,解得.
因为,所以在线段上存在点D,使得,此时.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知 ,若,且的图象相邻的对称轴间的距离不小于.
(1)求的取值范围.
(2)若当取最大值时, ,且在中, 分别是角的对边,其面积,求周长的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】若数列对任意满足,下面给出关于数列的四个命题:①可以是等差数列,②可以是等比数列;③可以既是等差又是等比数列;④可以既不是等差又不是等比数列;则上述命题中,正确的个数为( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,焦点在x轴上的椭圆C: =1经过点(b,2e),其中e为椭圆C的离心率.过点T(1,0)作斜率为k(k>0)的直线l交椭圆C于A,B两点(A在x轴下方).
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M,N,求 的值;
(3)记直线l与y轴的交点为P.若 = ,求直线l的斜率k.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】给定数列{cn},如果存在常数p、q使得cn+1=pcn+q对任意n∈N*都成立,则称{cn}为“M类数列”.
(1)若{an}是公差为d的等差数列,判断{an}是否为“M类数列”,并说明理由;
(2)若{an}是“M类数列”且满足:a1=2,an+an+1=32n.
①求a2、a3的值及{an}的通项公式;
②设数列{bn}满足:对任意的正整数n,都有a1bn+a2bn﹣1+a3bn﹣2+…+anb1=32n+1﹣4n﹣6,且集合M={n|≥λ,n∈N*}中有且仅有3个元素,试求实数λ的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】高三年级有500名学生,为了了解数学科的学习情况,现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩,制成如下频率分布表:
分组 | 频数 | 频率 |
12 | ||
4 | ||
合计 |
根据上面图表,求处的数值
在所给的坐标系中画出的频率分布直方图;
根据题中信息估计总体平均数,并估计总体落在中的概率.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形,阿基米德三角形有一些有趣的性质,如:若抛物线的弦过焦点,则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线 >,弦AB过焦点,△ABQ为其阿基米德三角形,则△ABQ的面积的最小值为
A. B. C. D.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com