Question

4．已知a＞0，b＞0若a+b=2，则$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小为$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 先将条件a+b=2，改写成$\frac{1}{4}$[（a+1）+（b+1）]=1，再用“贴1法”和基本不等式求最值．

解答 解：因为a+b=2，所以，（a+1）+（b+1）=4，
则$\frac{1}{4}$[（a+1）+（b+1）]=1，
所以，$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$=（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）•1
=$\frac{1}{4}$•（$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$）•[（a+1）+（b+1）]
=$\frac{1}{4}$[1+4+$\frac{1+b}{1+a}$+$\frac{4（1+a）}{1+b}$]
≥$\frac{1}{4}$[5+2$\sqrt{\frac{1+b}{1+a}•\frac{4（1+a）}{1+b}}$]
=$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
即$\frac{1}{1+a}+\frac{4}{1+b}$的最小值为：$\frac{9}{4}$，
故答案为：$\frac{9}{4}$．

点评 本题主要考查了基本不等式在求最值问题中的应用，合理构造等量关系和运用“贴1法”是解决本题的关键，属于中档题．