Question

（2012•绵阳三模）在△ABC中，顶点A，B，C所对三边分别是a，b，c已知B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列．
（I）求顶点A的轨迹方程；
（II） 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P（0，-

1

2

）的直线l，使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由B（-1，0），C（1，0），且b，a，c成等差数列，可得|AC|+|AB|=4（定值），利用椭圆定义，可得顶点A的轨迹方程；
（II）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y整理，利用韦达定理表示出中点坐标，再分类讨论，利用点M、N关于l对称，即可求实数m的取值范围．

解答：解：（I）由题知

a=2 b+c=2a

得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．
由椭圆定义知，顶点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆（除去左右顶点），且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为

3

．
∴顶点A的轨迹方程为

x2

4

+

y2

3

=1(y≠0)．…（4分）
（II）由

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

消去y整理得（3+4k²）x²+8kmx+4（m²-3）=0．
∴△=（8km）²-4（3+4k²）×4（m²-3）＞0，
整理得：4k²＞m²-3．①
令M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

8km

3+4k2

，
设MN的中点P（x₀，y₀），则x0=

1

2

(x1+x2)=-

4km

3+4k2

，y0=m+kx0=

3m

3+4k2

，…（7分）
i）当k=0时，由题知，m∈（-

3

，0）∪(0，

3

)．…（8分）
ii）当k≠0时，直线l方程为y+

1

2

=-

1

k

x，
由P（x₀，y₀）在直线l上，得

3m

3+4k2

+

1

2

=

4m

3+4k2

，∴2m=3+4k²．②
把②式代入①中可得2m-3＞m²-3，解得0＜m＜2．
又由②得2m-3=4k²＞0，解得m＞

3

2

．
∴

3

2

＜m＜2．
验证：当（-2，0）在y=kx+m上时，得m=2k代入②得4k²-4k+3=0，k无解，即y=kx+m不会过椭圆左顶点．
同理可验证y=kx+m不过右顶点．
∴m的取值范围为（

3

2

，2）．…（11分）
综上，当k=0时，m的取值范围为（-

3

，0）∪(0，

3

)；当k≠0时，m的取值范围为（

3

2

，2）．…（12分）

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查对称性，考查直线与椭圆的位置关系，正确表示中点坐标是关键．