Question

如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：

（1）求两点间的距离；
（2）证明：平面；
（3）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

（1）2；（2）证明详见解析；（3）．

试题分析：（1）取的中点，先证得就是二面角的平面角，再在中利用余弦定理即可求得两点间的距离；（2）欲证线面垂直：平面，转化为证明线线垂直：，，即可；（3）欲求直线与平面所成角，先结合（1）中的垂直关系作出直线与平面所成角，最后利用直角三角形中的边角关系即可求出所成角的正弦值．
试题解析：（1）取的中点，连接，
由，得：，
就是二面角的平面角，．
在中，
．
（2）由，，
 ，
，  又平面．
（3）方法一：由（1）知平面平面
∴平面平面平面平面，
作交于，则平面，
就是与平面所成的角．
方法二：设点到平面的距离为，
∵  
 于是与平面所成角的正弦为．
方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为n，则
n， n，
取，则n， 于是与平面所成角的正弦即
．