【题目】已知椭圆
：
的右焦点为
，右顶点为
，设离心率为
，且满足
，其中
为坐标原点.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点（0,1）的直线
与椭圆交于
，
两点，求
面积的最大值.
【答案】(1) 
;(2) 
.
【解析】
（1）设椭圆的焦半距为c，结合题意分析可得
，结合椭圆的几何性质可得a、b的值，代入椭圆的方程即可得答案；
（2）由题意分析可得直线l与x轴不垂直，设其方程为y=kx+1，联立l与椭圆C的方程，可得（4k2+3）x2+8kx﹣8=0，结合根与系数的关系可以用k表示|MN|与O到l的距离，由三角形面积公式计算可得△OMN的面积
.，由基本不等式分析可得答案．
（1）设椭圆的焦半距为
，则
，
，
.
所以，其中
，又
，联立解得
，
.
所以椭圆
的方程是.
（2）由题意直线不能与
轴垂直，否则将无法构成三角形.
当直线
与轴不垂直时，设其斜率为
，那么的方程为
.
联立与椭圆的方程，消去
，得
.
于是直线与椭圆有两个交点的充要条件是
，这显然成立.
设点
，
.
由根与系数的关系得
，
.
所以
，又
到的距离
.
所以
的面 .
令
，那么
，当且仅当
时取等号.
所以面积的最大值是.
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【题目】在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且asin B＝－bsin
.
(1)求A；
(2)若△ABC的面积S＝
c2，求sin C的值．
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【题目】称直角坐标系中纵横坐标均为整数的 点为“格点”，称一格点沿坐标线到原点的最短路程为该点到原点的“格点距离”，格点距离为定值的点的轨迹称为“格点圆”，该定值称为格点圆的半径，而每一条最短路程称为一条半径．当格点半径为2005时，格点圆的半径有________条．
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【题目】某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量
（单位：万元）和收益
（单位：万元）的数据如下表：
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
广告投入量/万元 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
收益/万元 | 14.21 | 20.31 | 31.8 | 31.18 | 37.83 | 44.67 |
用两种模型①
，②
分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：
|
|
|
|
7 | 30 | 1464.24 | 364 |
（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由.
（2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除：
(i)剔除的异常数据是哪一组？
(ii)剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程；
(iii)广告投入量
时，(ii)中所得模型收益的预报值是多少？
附：对于一组数据
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
，
.
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【题目】如图，三棱柱
中，
，D为AB上一点，且
平面
.
（1）求证：
；
（2）若四边形
是矩形，且平面
平面ABC，直线
与平面ABC所成角的正切值等于2，
，
，求三楼柱的体积.
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【题目】如图设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为4840
，画面上下边要留8cm空白，左右要留5cm空白，怎样确定画面高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？
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【题目】建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为
，防洪堤高记为
（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为
平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长
（
）要最小．
（1）用表示
、
；
（2）将表示成的函数
，如限制在
范围内，最小为多少米？并说明理由．
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【题目】在如图所示的空间几何体中，平面
平面
，
与
是边长为2的等边三角形，
，BE和平面ABC所成的角为
，且点E在平面ABC上的射影落在
的平分线上．
（1）求证：
平面ABC；
（2）求二面角
的余弦值．
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