Question

【题目】已知公差不为零的等差数列{an}中，a1=1且a1 ， a3 ， a9成等比数列， （Ⅰ）求数列{an}的通项公式
（Ⅱ）设bn=n2 求数列[bn}的前n项和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0． ∵a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比数列，
∴a32=a1a9 ， 即（1+2d）2=1×（1+8d），
∴4d2=8d，∵d≠0，∴d=1．
∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．
（Ⅱ）∵bn=n2 =n2n
∴Sn=121+222+323+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n…①
2Sn=122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n+n2n+1…②
①﹣②得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n﹣1=2n+1（1﹣n）﹣2．
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2．
【解析】（Ⅰ）设数列{an}的公差为d≠0．由a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比数列，可得a32=a1a9 ， 即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通项公式；（Ⅱ）bn=n2 =n2n ， 利用错位相减法求和即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)，还要掌握数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)的相关知识才是答题的关键．