Question

（（本小题满分12分）
若函数是奇函数，且。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在上的最大值；
（3）设函数，若不等式在上恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（1）函数f(x)＝ax³＋bx²＋cx＋d是奇函数，则b＝d＝0，
∴f ^/(x)＝3ax²＋c，则
故f(x)＝－x³＋x；………………………………4分
（2）∵f ^/(x)＝－3x²＋1＝－3(x＋)(x－)　∴f(x)在(－∞，－)，(，＋∞)上是
增函数，在[－，]上是减函数，

由f(x)＝0解得x＝±1，x＝0，　
如图所示，　当－1＜m＜0时，
f(x)_max＝f(－1)＝0；当0≤m＜时，f(x)_max＝f(m)＝－m³＋m，
当m≥时，f(x)_max＝f()＝．　
故f(x)_max＝．………………9分
（3）g(x)＝(－x)，令y＝2k－x，则x、y∈R^＋，且2k＝x＋y≥2，
　　又令t＝xy，则0＜t≤k²，
　　故函数F(x)＝g(x)·g(2k－x)＝(－x)(－y)＝＋xy－
＝＋xy－＝＋t＋2，t∈(0，k²]
　当1－4k²≤0时，F(x)无最小值，不合
　当1－4k²＞0时，F(x)在(0，]上递减，在[，＋∞)上递增，
　且F(k²)＝(－k)²，∴要F(k²)≥(－k)²恒成立，
　必须，　故实数k的取值范围是(0，)]．…… 14分

解析