Question

已知圆A：（x+1）²+y²=1和圆B：（x-1）²+y²=9，求与圆A外切而内切于圆B的动圆圆心P的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由两圆的方程分别找出圆心A与B的坐标，及两圆的半径r₁与r₂，设圆P的半径为r，根据圆P与A外切，得到圆心距PA等于两半径相加，即PA=r+1，又圆P与B内切，得到圆心距PB等于两半径相减，即PB=5-r，由PA+PB等于常数2a，AB等于常数2c，利用椭圆的基本性质求出b的值，可得出椭圆方程．

解答： 解：由圆A：（x+1）²+y²=1和圆B：（x-1）²+y²=9，
得到A（-1，0），半径r₁=1，B（1，0），半径r₂=3，
设圆P的半径为r，
∵与圆A外切而内切于圆B，
∴PA=r+1，PB=3-r，
∴PA+PB=4，又AB=2c=2，
∴P的轨迹是椭圆，a=2，c=1，
∴b=

3

，
∴圆心P的轨迹方程为：

x2

4

+

y2

3

=1．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系，椭圆的基本性质，以及动点的轨迹方程，两圆的位置关系由圆心角d与两圆半径R，r的关系来判断，当d＜R-r时，两圆内含；当d=R-r时，两圆内切；当R-r＜d＜R+r时，两圆相交；当d=R+r时，两圆外切；当d＞R+r时，两圆外离．