Question

（1）判断函数f（x）=x+

4

x

在x∈（0，+∞）上的单调性并证明你的结论？
（2）猜想函数f(x)=x+

a

x

，(a＞0)在x∈（-∞，0）∪（0，+∞）上的单调性？（只需写出结论，不用证明）
（3）利用题（2）的结论，求使不等式x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立时的实数m的取值范围？

Answer 1

分析：（1）函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数，再利用单调性的定义进行证明即可；
（2）由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函数，f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是减函数   
（3）根据x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立，可得x+

9

x

＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立   求出左边函数的最小值即可．

解答：（1）解：函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数，在[2，+∞）上是增函数．…（1分）
证明：设任意x₁＜x₂∈（0，+∞），则f(x1)-f(x2)=x1-x2+

1

x1

-

1

x2

…（2分）
=(x1-x2)

x1x2-4

x1x2

                                    …（3分）
又设x₁＜x₂∈（0，2]，则f（x₁）-f（x₂）＞0，∴f（x₁）＞f（x₂）
∴函数f（x）=x+

4

x

在（0，2]上是减函数                     …（4分）
又设x₁＜x₂∈[2，+∞），则f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
∴函数f（x）=x+

4

x

在[2，+∞）上是增函数                        …（5分）
（2）解：由上及f（x）是奇函数，可猜想：f（x）在(-∞，-

a

]和[

a

，+∞)上是增函数，f（x）在[-

a

，0)和(0，

a

]上是减函数                   …（7分）
（3）解：∵x+

9

x

-2m2+m＜0在x∈[1，5]上恒成立
∴x+

9

x

＜2m2-m在x∈[1，5]上恒成立         …（8分）
由（2）中结论，可知函数t=x+

9

x

在x∈[1，5]上的最大值为10，
此时x=1                                    …（10分）
要使原命题成立，当且仅当2m²-m＞10
∴2m²-m-10＞0  解得m＜-2，或m＞

5

2

∴实数m的取值范围是{m|m＜-2，或m＞

5

2

}    …（12分）

点评：本题重点考查函数的单调性的判定与证明，考查恒成立问题，解题的关键是利用单调性的定义，利用函数的最值解决恒成立问题．