Question

设实数x，y满足不等式组

1≤x+y≤4 y+2≥|2x-3|

．
（1）作出点（x，y）所在的平面区域并求出x²+y²的取值范围；
（2）设m＞-1，在（1）所求的区域内，求Q=y-mx的最值．

Answer 1

（1）将不等式去绝对值，化简为：

x+y≥1 x+y≤4 2x-y-5≤0 x≥ 3 2

或

x+y≥1 x+y≤4 2x+y-1≥0 x＜ 3 2

平面区域为如图所示的四边形DEFG及其内部，其中D（-3，7），E（0，1），F（2，-1），G（3，1）；
由图可知，当动点（x，y）与点D（-3，7）重合时，
x²+y²达到最大值，最大值为OD²=9+49=58；
当动点（x，y）与原点在直线EF上的射影重合时，
x²+y²达到最小值，最小值为

1

2

∴x²+y²的取值范围是[

1

2

，58]
（2）作直线l：Q=y-mx，则它的斜率k=m（k＞-1）
运动直线l，并观察图形可得：
①当-1＜k≤2即-1＜m≤2时
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m；
平移l到经过F点时，Q=y-mx值最小Q_min=-1-2m
②当k＞2，即m＞2时，
平移l到经过D点时，Q=y-mx值最大，Q_max=7+3m
平移l到经过G点时，Q=y-mx值最小Q_min=1-3m．