Question

17．如图所示的茎叶图为甲、乙两家连锁店七天内销售额的某项指标统计：
（1）求甲家连锁店这项指标的平均数、中位数和众数，并比较甲、乙两该项指标的方差大小；
（2）每次都从甲、乙两店统计数据中随机各选一个进行对比分析，共选了7次（有放回选取），设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，求X的数学期望．

Answer 1

分析 （1）由茎叶图列出甲连锁店的数据和乙连锁店的数据，由此能求出甲家连锁店这项指标的平均数、中位数和众数．甲连锁店的数据从小到大为x_i，乙连锁店的数据从小到大为y_i，（i=1，2，3，…，7），由y_i=x_i+2，得到${{S}_{甲}}^{2}={{S}_{乙}}^{2}$．
（2）由已知得X～B（7，$\frac{15}{49}$），由此能求出X的数学期望．

解答 解：（1）由茎叶图知甲连锁店的数据为6，7，8，13，15，15，20，
乙连锁店的数据为8，9，10，15，17，17，22，
甲连锁店这项指标的平均数$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{6+7+8+13+15+15+20}{7}$=12，
中位数为13，众数为15，
设甲的方差为${{S}_{甲}}^{2}$，乙的方差为${{S}_{乙}}^{2}$，
甲连锁店的数据从小到大为x_i，乙连锁店的数据从小到大为y_i，（i=1，2，3，…，7），
∵y_i=x_i+2，∴${{S}_{甲}}^{2}={{S}_{乙}}^{2}$．
（2）从甲、乙两组数据中各取一个，基本事件总数为n=7×7=49，
甲的数据大于乙的数据包含的情况有：乙取8、9、10时，甲都可取13，15，15，20；
乙取15、17、17时，甲都可取20，
∴甲的数据大于乙的数据包含的基本事件个数m=15，
∴甲的数据大于乙的数据的概率p=$\frac{15}{49}$，
设选取的两个数据中甲的数据大于乙的数据的次数为X，则X～B（7，$\frac{15}{49}$），
∴X的数学期望EX=7×$\frac{15}{49}$=$\frac{15}{7}$．

点评 本题旨在考查茎叶图、平均数、中位数、众数、方差、随机变量的期望等知识，是中档题．