Question

9、函数f（x）在定义域R上不是常数函数，且f（x）满足条件：对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），
则f（x）是（　　）

A、奇函数但非偶函数

B、偶函数但非奇函数

C、既是奇函数又是偶函数

D、是非奇非偶函数

Answer 1

分析：根据对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x），知f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x），故f（x）为偶函数，反之易得函数f（x）不可能为奇函数，即可得答案．

解答：解：∵对任意x∈R，都有f（2+x）=f（2-x），f（1+x）=-f（x）
∴f（2+x）=f[1+（1+x）]=-f（1+x）=f（x），f（2-x）=f[1+（1-x）]=-f（1-x）=f（-x）
∴f（x）=f（-x）
故f（x）为偶函数
又∵既是奇函数又是偶函数只有常数函数，函数f（x）在定义域R上不是常数函数
∴函数f（x）不可能为奇函数
故选B

点评：本题考查了函数奇偶性的判断，还有变量整体代入法，属于基础题．