Question

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象在点（-1，2）处的切线恰好与x-3y=0垂直，又f（x）在[m，m+1]上单调递增，则m的取值范围是（　　）

A．（-∞，-3]

B．[0，+∞）

C．（-∞，-3）∪（0，+∞）

D．（-∞，-3]∪[0，+∞）

Answer 1

分析：先求导函数，然后根据函数在点（-1，2）处的切线恰好与x-3y=0垂直建立方程组，解之即可得到函数f（x）的解析式，根据f（x）在[m，m+1]上单调递增，则f′（x）≥0的解集包含区间[m，m+1]，建立不等关系，解之即可．

解答：解：f′（x）=3ax²+2bx，因为函数在点（-1，2）处的切线恰好与x-3y=0垂直得到切线的斜率为-3，
得到：

f(-1)=2 f′(-1)=-3

即

-a+b=2 3a-2b=-3

解得：

a=1 b=3

，则f（x）=x³+3x²
f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）≥0解得：x≥0或x≤-2，即x≥0或x≤-2时，f（x）为增函数；
所以[m，m+1]?（-∞，-2]或[m，m+1]?[0，+∞）即m+1≤-2或m≥0，
解得m≤-3或m≥0
故选D．

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及利用导数研究函数的单调性，同时考查了分析问题解决问题的能力，属于中档题．