Question

函数的性质通常指函数的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等，请选择适当的探究顺序，研究函数f（x）=

1-sinx

+

1+sinx

的性质，并在此基础上，作出其在[-π，π]的草图．

Answer 1

分析：本题研究的顺序为：先研究定义域、奇偶性、周期性，再研究函数的单调性、值域，最后画出图形．

解答：解：①∵

1-sinx≥0 1+sinx≥0

∴f（x）的定义域为R；（2分）
②∵f(-x)=

1-sin(-x)

+

1+sin(-x)

=

1+sinx

+

1-sinx

=f(x)，
∴f（x）为偶函数；（4分）
③∵f（x+π）=

1-sin(x+π)?

+

1+sin(x+π)?

=

1-sinx

+

1+sinx

=f（x），
∴f（x）是周期为π的周期函数；（6分）
④当x∈[0，

π

2

]时，f（x）=

( 1-sinx + 1+sinx )2

=

2+2|cosx|

=2cos

x

2

，
∴当x∈[0，

π

2

]时，f（x）单调递减；当x∈[

π

2

，π]时，
f（x）=

( 1-sinx + 1+sinx )2

=

2+2|cosx|

=

2-2cosx

=2sin

x

2

，
f（x）单调递增；又∵f（x）是周期为π的偶函数，
∴f（x）在[kπ+

π

2

，kπ+π]上单调递增，在[kπ，kπ+

π

2

]上单调递减（k∈Z）；（8分）
⑤∵当x∈[0，

π

2

]时，f(x)=2cos

x

2

∈[

2

，2]；
当x∈[

π

2

，π]时，f(x)=2sin

x

2

∈[

2

，2]．
∴f（x）的值域为[

2

，2]；（10分）
⑥由以上性质可得：f（x）在[-π，π]上的图象如图所示：

（12分）

点评：本题考查二倍角公式的应用，正弦函数、余弦函数的图象和性质，以及y=Asin（ωx+φ）的图象及性质．