Question

在△ABC中，记∠BAC=x（角的单位是弧度制），△ABC的面积为S，且

AB

•

AC

=8，4≤S≤4

3

．求函数f（x）=2

3

sin²（x+

π

4

）+2cos²x-

3

的最大值、最小值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：解三角形,平面向量及应用

分析：由∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，利用平面向量的数量积运算求得bccosx=8，结合正弦定理求面积得到S=4tanx，再由三角形面积的范围求得1≤tanx≤

3

，进一步得到x的取值范围．然后化简f（x），由x的范围求得f（x）的最值．

解答： 解：∵∠BAC=x，

AC

•

AB

=8，
∴bccosx=8，
又S=

1

2

bcsinx，∴S=4tanx，
∵4≤S≤4

3

，
∴1≤tanx≤

3

，而x为三角形一内角，
∴所求的x的取值范围是

π

4

≤x≤

π

3

．
f（x）=2

3

sin²（x+

π

4

）+2cos²x-

3

=

3

sin2x+cos2x+1=2sin(2x+

π

6

)+1，
∵

π

4

≤x≤

π

3

，
∴

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤

3

2

．
∴f(x)min=f(

π

3

)=2，f(x)max=f(

π

4

)=

3

+1．

点评：本题考查了平面向量在解三角形中点应用，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．