Question

设同一平面内的两向量

a

、

b

不共线，

c

是该平面内的任一向量，则关于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

的解的情况，下列叙述正确的是（　　）

• A、至少有一个实数解
• B、至多有一个实数解
• C、有且只有一个实数解
• D、可能有无数个解

Answer 1

分析：关于x的方程

a

x²+

b

x+

c

=

0

，可转化为

c

=-x²

a

-x

b

，由向量

a

、

b

不共线，根据平面向量的基本定理我们易判断存在有且仅有一对实数λ₁、λ₂，满足方程，即λ₁=-x²且λ₂=-x，根据实数的性质，我们易判断方程根的个数．

解答：解：原方程即：

c

=-x²

a

-x

b

，
∵

a

、

b

不共线，可视为“基底”，
根据平面向量基本定理知，
有且仅有一对实数λ₁、λ₂
使得λ₁=-x²且λ₂=-x，
即当λ₁=-λ₂²时方程有一解，否则方程无解，
故选B．

点评：本题考查的知识点是平面向量的基本定理及其意义，此题不可用“判别式”，“判别式”只能判别实系数一元二次方程的根的情况，而本题中二次方程的系数是向量．