Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）讨论函数的单调性；

（Ⅱ）记函数的两个零点分别为，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函数在上单调递增；在上单调递减; （Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数 的单调区间即可; （Ⅱ）分离参数得：,从而可得恒成立；再令,从而可得不等式在上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．

试题解析：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为，

，

当时，恒成立，故函数在上单调递增；

当时，令，得；令，得；

故函数在上单调递增；在上单调递减，

（Ⅱ）由（I）可知分别为方程的两个根，即，，

所以原式等价于.

因为，，所以原式等价于，

又由，作差得，，即.

所以原式等价于.

因为，原式恒成立，即恒成立.

令，则不等式在上恒成立.

令，则，

当时，可见时，，所以在上单调递增，又在恒成立，符合题意；

当时，可见当时，；当时，，

所以在时单调递增，在时单调递减.

又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去.

综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以.