Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线W的顶点在原点，其焦点F在x轴的正半轴上，过点F作x 轴的垂线与W交于A、B两点，且点A在第一象限，|AB|=8，过点B作直线BC与x轴交于点T（t，0）（t＞2），与抛物线交于点C．
（1）求抛物线W的标准方程；
（2）若t=6，曲线G：x²+y²-2ax-4y+a²=0与直线BC有公共点，求实数a的取值范围；
（3）若|OB|²+|OC|²≤|BC|²，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）先根据抛物线是标准方程可确定焦点的位置，设抛物线的方程为y²=2px，再由，|AB|=8求得p值即可得到标准方程．
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），写出直线BC的方程为x-y-6=0，曲线G：x²+y²-2ax-4y+a²=0与直线BC有公共点说明圆心到直线的距离不大于半径，从而求得实数a的取值范围．
（3）直线BT 的方程为y=

4

t-2

(x-t)，代入抛物线方程y²=8x，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合|OB|²+|OC|²≤|BC|²，∠BOC为钝角或直角，利用向量的数量积解得2＜t≤8最后即可救是ABC的面积最大值．

解答：解：（1）设抛物线的方程为y²=2px，（p＞0）
令x=

p

2

，得y²=p²
所以2p=|AB|=8
抛物线的方程为y²=8x．…（4分）
（2）若t=6即T（6，0），又B（2，-4），则直线BC的方程为x-y-6=0…（5分）
曲线G：（x-a）²+（y-2）²=4，是以（a，2）为圆心，2为半径的圆      …（6分）
由题意

|a-2-6|

2

≤2，解得8-2

2

≤a≤8+2

2

．…（8分）
（3）直线BT 的方程为y=

4

t-2

(x-t)，代入抛物线方程y²=8x，得：
2x²-（t²+4）x+2t²=0
因为t＞2，所以△=t⁴-8t²+16=（t²-4）²＞0．…（9分）
因为x=2是这个方程的一个根，设C（x_C，y_C）根据韦达定理2x_C=t²，所以xC=

t2

2

再由抛物线方程可得y_C=2t，即点C(

t2

2

，2t)．…（10分）
因为|OB|²+|OC|²≤|BC|²，所以∠BOC为钝角或直角
所以

OB

•

OC

≤0，即2x_C-4y_C≤0，t²-8t≤0，且t＞2，解得2＜t≤8．…（12分）
ABC的面积S_△ABC=

1

2

|AB|•(xC-2)=2t2-8
所以当t=8时，S_△ABC最大值为120．…．（14分）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，考查直线与圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识．是中档题．