Question

已知函数f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+a(ω＞0，a∈R)图象的两相邻对称轴间的距离为

π

2

．
（1）求ω值；
（2）求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）已知f（x）在区间[0，

π

2

]上的最小值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数为 一个角的一个三角函数的形式，通过求出函数的周期求ω值；
（2）利用正弦函数的单调减区间求函数y=f（x）的单调递减区间；
（3）结合[0，

π

2

]，求出

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，求出函数的最小值为1，求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=

3

cos2ωx+sinωxcosωx+a=sin(2ωx+

π

3

)+

3

2

+a（3分）
∵

T

2

=

π

2

，∴T=π=

2π

2ω

，∴ω=1（5分）
（2）∵2kπ+

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

3

2

π
∴kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7

12

π，
∴单调减区间为[kπ+

π

12

，kπ+

7

12

π](k∈Z)（8分）
（3）∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴f(x)min=-

3

2

+

3

2

+a=1，∴a=1（12分）

点评：本题是基础题，考查三角函数的公式的应用，函数的基本性质的灵活运应，考查计算能力，转化思想的应用．