Question

【题目】（用空间向量坐标表示解答）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，AC⊥BC，D为AB的中点．

（1）求证：AC1∥面B1CD
（2）求直线AA1与面B1CD所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以C为坐标原点，以CA，CB，CC1为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则A（2，0，0），C1（0，0，2），C（0，0，0），D（1，1，0），B1（0，2，2），

∴ =（﹣2，0，2）， =（1，1，0）， =（0，2，2）．

设平面B1CD的法向量为 =（x，y，z）．则 ， =0，

∴ ，令z=1，得 =（1，﹣1，1）．

∴ =﹣2+0+2=0，

∵AC1平面B1CD，

∴AC1∥面B1CD．

（2）解： = =（0，0，2），

∴ =2，| |=2， = ，

∴cos＜ ， ＞= = ．

∴直线AA1与面B1CD所成角的正弦值为 ．

【解析】（1）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面B1CD的法向量 ，只需证明 ⊥ 即可；（2）直线AA1与面B1CD所成角的正弦值为|cos＜ ， ＞|．
【考点精析】本题主要考查了直线与平面平行的判定和空间角的异面直线所成的角的相关知识点，需要掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行；已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则才能正确解答此题．