Question

已知函数f（x）=x²-2|x-a|，a＞0，对x≥0，f（x-1）≥2f（x）恒成立，则a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：依题意，可得x²+2x-1≤4|x-a|-2|x-1-a|，分x≥a+1，a＜x＜a+1，0＜x≤a三类讨论，利用函数的单调性质即可求得a的取值范围．

解答： 解：当a＞0时，对任意的x∈[0，∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，
?（x-1）²-2|x-1-a|≥2[x²-2|x-a|]（x∈[0，∞））恒成立，
?x²+2x-1≤4|x-a|-2|x-1-a|（x∈[0，∞））恒成立，
①若x≥a+1，则x²+2x-1≤2x-2a+2，整理得x²≤3-2a，
所以，（a+1）²≤3-2a，而a＞0，
解得：0＜a≤

6

-2；
②若a＜x＜a+1，则x²+2x-1≤6x-6a-2，即x²+4x+4≤3-6a，
依题意，a＜x＜a+1?a+2＜x+2＜a+3?（a+2）²＜（x+2）²=x²+4x+4≤3-6a＜（a+3）²，
解得a∈∅；
③若0＜x≤a，则x²+2x-1≤-2x+2a-2恒成立，即x²+4x+4≤3+2a恒成立，
∵y=x²+4x+4的对称轴为x=-2，
∴y=x²+4x+4在区间（0，a]上单调递增，∴y_max=a²+4a+4，依题意，a²+4a+4≤3+2a恒成立，
即（a+1）²≤0，解得a=-1，与a＞0不符，故舍去．
综上所述，a的取值范围为（0，

6

-2]
故答案为：（0，

6

-2]．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查函数恒成立问题，突出分类讨论思想、不等式思想与等价转化思想的综合运用，属于难题．