Question

已知一元二次方程：（1）mx²-4x+4=0；（2）x²-4mx+4m²-4m-5=0（m∈Z），求方程（1）和（2）的根都是整数的充要条件．

Answer 1

分析：先通过二次方程的判别式判断出两个方程有实根的m的范围，求出整数m的值，将各个m的值代入两个方程，判断出有整数根的m的值，反之判断出两个方程都有实根．

解答：解：方程（1）有实根?△₁=16-16m≥0，即m≤1；
方程（2）有实根?△₂=16m²-4(4m2-4m-5)≥0⇒m≥-

5

4

，
由-

5

4

≤m≤1且m∈Z得m=-1，0，1．
当m=-1时，方程（1）为x²+4x-4=0，无整数解；
当m=0 时，方程（2）为x²=5，无整数解；
当m=1时，方程（1）有整数解x=2，方程（2）有整数解x=-1或5，
从而（1）、（2）都有整数解⇒m=1．
反过来，由m=1，可推得方程（1）、（2）都有整数解，
所以方程（1）、（2）都有整数解的充要条件是m=1．

点评：本题考查二次方程有实根的条件及求一个命题充要条件的方法：一般先求出必要条件在证明充分性．