Question

若椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1交于A、B两点，M为AB的中点，直线OM（O为原点）的斜率为，且OA⊥OB，求椭圆的方程．

Answer 1

【答案】分析：欲求椭圆方程，需求a、b，为此需要得到关于a、b的两个方程，由OM的斜率为．OA⊥OB，易得a、b的两个方程．
解答：解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（，）．
∴（a+b）x2-2bx+b-1=0．
由x+y=1，ax²+by²=1，
∴=，=1-=．
∴M（，）．
∵k_OM=，∴b=a．①
∵OA⊥OB，∴•=-1．
∴x₁x₂+y₁y₂=0．
∵x₁x₂=，y₁y₂=（1-x₁）（1-x₂），
∴y₁y₂=1-（x₁+x₂）+x₁x₂
=1-+=．
∴+=0．
∴a+b=2．②
由①②得a=2（-1），b=2（-1）．
∴所求方程为2（-1）x²+2（-1）y²=1．
点评：本题主要考查了椭圆的应用，直线与圆锥曲线的位置关系的问题．一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，充分利用判别式和韦达定理求得问题的解决．