Question

已知圆方程为：x²+y²=4．
（Ⅰ）直线L过点P（1，2），且与圆C交于A、B两点，若|AB|=2

3

，求直线L方程．
（Ⅱ）过圆C上一动点M作平行于X轴的直线m，设m与y轴交点为N，若向量

OQ

=

OM

+

ON

（O为原点），求动点Q轨迹方程．

Answer 1

分析：（I）分类讨论：直线L的斜率不存在时，方程为x=1，直接解出看是否满足|AB|=2

3

即可．当直线L的斜率存在时，设直线L的斜率为，则方程为：y-2=k（x-1），利用点到直线的距离距离公式可得圆心到直线L的距离d，利用弦长公式可得|AB|=2

r2-d2

，即可得到k．
（II）设Q（x，y），M（s，t），则N（0，t），由于向量

OQ

=

OM

+

ON

（O为原点），利用向量相等可得

x=s+0=s y=2t

，解出s，t再代入圆的方程即可．

解答：解：（I）①直线L的斜率不存在时，方程为x=1，代入圆的方程：1+y²=4，解得y=±

3

，满足|AB|=2

3

，此时：直线L的方程为，x=1．
②直线L的斜率存在时，设直线L的斜率为，则方程为：y-2=k（x-1），kx-y+2-k=0．
圆心到直线L的距离d=

|2-k|

k2+1

，
∵|AB|=2

3

，∴2

3

=2

r2-d2

，
∴

3

=

4-( 2-k k2+1 )2

，化为4k=3，解得k=

3

4

，
此时方程为：

3

4

x-y+2-

3

4

=0，化为3x-4y+5=0．
综上可知：直线L的方程为x=1或3x-4y+5=0．
（II）设Q（x，y），M（s，t），则N（0，t），s²+t²=4．（*）
∵向量

OQ

=

OM

+

ON

（O为原点），∴

x=s+0=s y=2t

，
解得

s=x t= 1 2 y

，代入（*）得x2+

y2

4

=4，化为

x2

4

+

y2

16

=1．
因此动点Q轨迹方程为：

x2

4

+

y2

16

=1．

点评：本题考查了直线与圆相交的弦长问题、弦长公式、点到直线的距离公式、“代点法”、分类讨论等基础知识与基本技能方法，属于中档题．