Question

设a_n是(

x

+3)n（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则

2009

2008

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32009

a2009

)的值为（　　）

A．18

B．17

C．-18

D．19

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的幂指数为1求出a_n，再求出

3n

an

，据其特点，利用裂项法求出数列的和．

解答：解：∵a_n是(

x

+3)n（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，再由 (

x

+3)n=(3+

x

)n，
可得展开式通项公式为 T_r+1=

C

r n

•3^n-r•x

r

2

，令 

r

2

=1，解得r=2，即 a_n=3^n-2•

C

2 n

，
∴

3n

an

=

9

C 2 n

=

18

n(n-1)

=18（

1

n-1

-

1

n

）．
∴

2009

2008

(

32

a2

+

33

a3

+…+

32009

a2009

)=

2009

2008

•18•（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+…+

1

2008

-

1

2009

）
=

2009

2008

（

1

2

-

1

2009

）=18，
故选A．

点评：本题考查二项展开式的通项公式、数列求和的方法：裂项法，属于中档题．