Question

【题目】已知二次函数f（x）=ax2+bx，（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（2﹣x）=f（x﹣1），且方程f（x）=x有两个相等的实根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设g（x）=kx+1，若F（x）=g（x）﹣f（x），求F（x）在[1，2]上的最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]与[2m，2n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意知f（x）=ax2+bx关于x= 对称

∴﹣ =

ax2+bx=x有两个相等的实根，∴△=0

∴

所以，f（x）=﹣x2+x

（2）解：F（x）=kx+1+x2﹣x=x2+（k﹣1）x+1

F（x）的对称轴为：x=﹣

①当﹣ ≤1时， F（x）min=F（1）≤k+1

②当 1＜﹣ ≤2时，

③当﹣ ＞2 时， F（x）min=F（2）=2k+3

∴F（x）min=

（3）解：f（x）=﹣x2+x=﹣（x﹣ ）2+

∴2n n

∴f（x）在[m，n]上单调递增

∴

∵m＜n

∴

【解析】1、本题考查的是一元二次函数解析式的求法；根据对称轴，根的情况求出函数解析式里的未知数。
2、本题考查的是一元二次函数在指定区间上的最值问题，对称轴在指定的区间内就能取到最值，不在则根据单调性去求得。
3、本题考查的是一元二次函数三要素定义域、值域、对应法则以及单调性的简单应用。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．