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    如图，已知A、B为椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    和双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且
    OP
    =λ
    OQ
    (λ∈R，λ＞1)    ．设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为k1、k2、k3、k4．
    （1）求证：k1•k2=
    b2
    a2
    ；
    （2）求k1+k2+k3+k4的值；
    （3）设F1、F2分别为双曲线和椭圆的右焦点，若PF1∥QF2，求k12+k22+k32+k42的值．
    分析：（1）设P（x1，y1），则k1•k2=
    y1
    x1+a
    •
    y1
    x1-a
    =
    y12
    x12-a2
    ，再利用点P（x1，y1）在双曲线
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    上，从而可证k1•k2=
    b2
    a2
    ；
    （2）先计算k1+k2=
    y1
    x1+a
    +
    y1
    x1-a
    =
    2x1y1
    x12-a2
    =
    2b2
    a2
    •
    x1
    y1
    ，设Q（x2，y2）同理可得k3+k4=-
    2b2
    a2
    •
    x2
    y2
    ，
    OP
    与
    OQ
    共线⇒
    x1
    y1
    =
    x2
    y2
    ，从而可求得k1+k2+k3+k4的值；
    （3）由（2）可求得∴（k1+k2）2=4
    b4
    a4
    •
    x12
    y12
    ，（k3+k4）2=4
    b4
    a4
    •
    x22
    y22
    ，PF1∥QF2⇒|OF1|=λ|OF2|⇒λ2=
    a2+b2
    a2-b2
    ⇒
    x12
    y12
    =
    a4
    b4
    ，从而得到（k1+k2）2=4，（k3+k4）2=4；问题即可解决．
    解答：（1）证明：设P（x1，y1），k1•k2=
    y1
    x1+a
    •
    y1
    x1-a
    =
    y12
    x12-a2
    ，且
    x12
    a2
    -
    y12
    b2
    =1    ，
    ∴x12-a2=
    a2
    b2
    •y12，
    ∴k1•k2=
    b2
    a2
    ；
    （2）解：∵k1+k2=
    y1
    x1+a
    +
    y1
    x1-a
    =
    2x1 y1
    x12-a2
    =
    2x1y1
    a2
    b2
    • y12
    =
    2b2
    a2
    •
    x1
    y1
    ，
    设Q（x2，y2），同理可得k3+k4=-
    2b2
    a2
    •
    x2
    y2
    ，
    又
    OP
    与
    OQ
    共线，
    ∴x1=λx2，y1=λy2，
    ∴
    x1
    y1
    =
    x2
    y2
    ，
    ∴k1+k2+k3+k4=
    2b2
    a2
    （
    x1
    y1
    -
    x2
    y2
    ）=0；
    （3）解：∵
    OP
    =λ
    OQ
    (λ∈R，λ＞1)    ，
    ∴
    x2=
    1
    λ
    x1
    y2=
    1
    λ
    y1
    ，又
    x22
    a2
    +
    y22
    b2
    =1    ，
    ∴
    x12
    a2
    +
    y12
    b2
    =λ2    ，又
    x12
    a2
    -
    y12
    b2
    =1    ，
    ∴
    x12=
    λ2+1
    2
    a2
    y12=
    λ2-1
    2
    b2
    ，
    又∵若PF1∥QF2，
    ∴|OF1|=λ|OF2|，
    ∴λ2=
    a2+b2
    a2-b2
    ，
    ∴
    x12
    y12
    =
    λ2+1
    λ2-1
    •
    a2
    b2
    =
    a4
    b4
    ，
    ∴（k1+k2）2=4
    b4
    a4
    •
    x12
    y12
    =4
    b4
    a4
    •
    a4
    b4
    =4；
    同理（k3+k4）2=4；
    又k1•k2=
    b2
    a2
    ，k3•k4=-
    b2
    a2
    ，
    ∴k12+k22+k32+k42=（k1+k2）2+（k3+k4）2-2（k1•k2+k3•k4）=4+4-0=8．
    点评：本题考查圆锥曲线的综合，着重考查整体代换与方程思想，培养学生综合分析问题、解决问题的能力，属于难题．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•浦东新区二模）（1）设椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    与双曲线C2：9x2-
    9y2
    8
    =1    有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；
    我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
    （2）如图，已知“盾圆D”的方程为y2=
    4x            (0≤x≤3)
    -12(x-4)  (3＜x≤4)
    ．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值； 
    （3）由抛物线弧E1：y2=4x（0≤x≤
    2
    3
    ）与第（1）小题椭圆弧E2：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （
    2
    3
    ≤x≤a    ）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求
    r1
    r2
    的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，F1，F2为椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，S△DEF2=1-
    		3
    2
    ．若点M（x0，y0）在椭圆C上，则点N（
    x0
    a
    ，
    y0
    b
    ）称为点M的一个“椭点”．直线l与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭点”分别为P，Q，已知以PQ为直径的圆经过坐标原点O．
    （1）求椭圆C的标准方程；
    （2）△AOB的面积是否为定值？若为定值，试求出该定值；若不为定值，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•怀化二模）如图展示了一个由区间（0，k）（其中k为一正实数）到实数集R上的映射过程：区间（0，k）中的实数m对应线段AB上的点M，如图1；将线段AB围成一个离心率为
    		3
    2
    的椭圆，使两端点A、B恰好重合于椭圆的一个短轴端点，如图2；再将这个椭圆放在平面直角坐标系中，使其中心在坐标原点，长轴在x轴上，已知此时点A的坐标为（0，1），如图3，在图形变化过程中，图1中线段AM的长度对应于图3中的椭圆弧ADM的长度．图3中直线AM与直线y=-2交于点N（n，-2），则与实数m对应的实数就是n，记作f（m）=n，

    现给出下列5个命题①f(
    k
    2
    )=6    ；②函数f（m）是奇函数；③函数f（m）在（0，k）上单调递增；④函数f（m）的图象关于点(
    k
    2
    ，0)    对称；⑤函数f(m)=3
    		3
    时AM过椭圆的右焦点．其中所有的真命题是（　　）

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    科目：高中数学 来源：2012届重庆市“名校联盟”高二第一次联考文科数学试卷（解析版） 题型：解答题

    如图，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在轴上，长轴长是短轴

    长的2倍，且经过点M. 平行于OM的直线在轴上的截距为并交椭

    圆C于A、B两个不同点.

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）求的取值范围；

    y
     
    （3）求证：直线MA、MB与轴始终围成一个等腰三角形.

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：解答题

    （1）设椭圆C1：数学公式与双曲线C2：数学公式有相同的焦点F1、F2，M是椭圆C1与双曲线C2的公共点，且△MF1F2的周长为6，求椭圆C1的方程；
    我们把具有公共焦点、公共对称轴的两段圆锥曲线弧合成的封闭曲线称为“盾圆”．
    （2）如图，已知“盾圆D”的方程为数学公式．设“盾圆D”上的任意一点M到F（1，0）的距离为d1，M到直线l：x=3的距离为d2，求证：d1+d2为定值；
    （3）由抛物线弧E1：y2=4x（0数学公式）与第（1）小题椭圆弧E2：数学公式（数学公式）所合成的封闭曲线为“盾圆E”．设过点F（1，0）的直线与“盾圆E”交于A、B两点，|FA|=r1，|FB|=r2且∠AFx=α（0≤α≤π），试用cosα表示r1；并求数学公式的取值范围．

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