Question

【题目】给定数列.对，该数列前项的最小值记为，后项的最大值记为，令.

（1）设数列为2，1，6，3，写出，，的值；

（2）设是等比数列，公比，且，证明：是等比数列；

（3）设是公差大于0的等差数列，且，证明：是等差数列.

Answer 1

【答案】（1），，；（2）证明见解析；（3）证明见解析

【解析】

（1）求出及的值，并结合，可求出，，的值；

（2）易知数列是递减数列，从而可知时，，，可得，且，进而可得，从而可知为定值，即可证明结论成立；

（3）是等差数列，先用反证法证明是单调递减数列，再用反证法证明为数列中的最大项，从而可知，则，进而可证明结论成立.

（1）由题意，，则；

，则；

，则.

（2）因为是等比数列，公比，且，所以数列是递减数列，

则时，，，所以，且，

所以时，，

所以，即是等比数列.

（3）由是公差大于0的等差数列，且，可知.

①先用反证法证明是递减数列，

假设不是递减数列，设是第一个使得成立的项，则，，所以，即，与相矛盾，

所以是单调递减数列.

②再用反证法证明为数列中的最大项，

假设不是数列的最大项，即存在使得成立，

若时，满足，则，，故，与矛盾，即；

若时，满足，则，，故，与矛盾，

所以为数列中的最大项.

综上，是单调递减数列，且为数列中的最大项，

故，即，

则时，，

故，

所以是等差数列.