Question

【题目】已知函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4；
（1）若函数y=f（x）在区间[1，2]上的最小值为4﹣a，求实数a的取值范围；
（2）是否存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=x2﹣（a﹣2）x+a﹣4的对称轴为x= ，

①当 ≤1，即a≤4时，f（x）min=f（1）=1﹣（a﹣2）+a﹣4=﹣1=4﹣aa=5，不满足a≤4，

②当 ≥2，即a≥6时，f（x）min=f（2）=2﹣2（a﹣2）+a﹣4=4﹣a=4﹣aa∈Ra≥6符合题意．

③1＜ ＜2，即4＜a＜6时，f（x）min=f（ ）= =4﹣aa=6a∈

综上：实数a的取值范围；a≥6．

（2）解：假设存在整数m，n，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]，即m≤x2﹣（a﹣2）x+a﹣4≤n的解集为{x|m≤x≤n}．可得f（m）=m，f（n）=n．

即x2﹣（a﹣2）x+a﹣4=x的两个实数根为m，n．即可得出．m+n=a﹣1，mn=a﹣4

m+n=mn+3m（1﹣n）=3﹣n，当n=1时，m不存在，舍去，

当n≠1时，m= m=﹣1，n=2或m=0，n=3

存在整数m，n，m=﹣1，n=2或m=0，n=3，使得关于x的不等式m≤f（x）≤n的解集恰好为[m，n]

【解析】（1）找到二次函数的对称轴，根据区间定轴动的处理方法，分情况讨论得到a的取值范围，（2）根据一元二次不等式的解集，即为一元二次方程的两个根，得到f（m）=m，f（n）=n，讨论可得出存在这样的整数.
【考点精析】利用二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．