Question

已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），给出以下命题：
①函数f（x）是周期为2的周期函数；            
②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；
③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；
④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f（x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题有

①③

．

Answer 1

分析：利用奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），对该函数的周期性、对称性及单调性进行分析，即可判断①②③④中的正误．

解答：解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）=f（x+2），
∴①函数f（x）是周期为2的周期函数，即①正确；
又f（x）=-f（-x），
∴f（x+1）=f（x-1）=-f（1-x）≠f（1-x），
∴函数f（x）的图象不关于直线x=1对称，故②错误；
又f（x）=f（x+2k），
∴f（x-k）=f（x+k）=-f（k-x），
∴f（k+x）=-f（k-x），
∴f（x）关于点（k，0）对称，即③正确；
对于④，∵f（x）在（0，1）单调递增，f（x）为奇函数，
∴f（x）在（-1，0）上单调递增，又函数f（x）是周期为2的周期函数，
∴f（x）在（1，2）单调递增，f（x）在（2，3）上单调递增，但不能确定f（x）在（1，3）的单调性．
由上面的分析可得，f（x）在（3，5）的单调性与（1，3）的单调性相同，故④错误；
综上所述，①③正确．
故答案为：①③．

点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性及单调性，考查综合分析、转化、解决问题的能力，属于难题．