Question

求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）过点A（-1，-2）且与椭圆

x2

6

+

y2

9

=1的两个焦点相同；
（2）过点P(

3

，-2），Q(-2

3

，1）．

Answer 1

分析：（1）先根据椭圆

x2

6

+

y2

9

=1得到它的焦点为（0，±

3

），再设所求的椭圆方程为：

y2

m

+

x2

m-3

=1，代入点A的坐标即可解出m的值，得到椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的方程为：

x2

p

+

y2

q

=1，p、q为不相等的正数，将P、Q的坐标代入，得到关于p、q的方程组并解之，即得椭圆的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆

x2

6

+

y2

9

=1中，a²=9，b²=6
∴c²=a²-b²=3，得焦点坐标为（0，±

3

）
故设所求的椭圆方程为：

y2

m

+

x2

m-3

=1，（m＞3）
∴

(-2)2

m

+

(-1)2

m-3

=1，解之得m=6（m=2不合题意，舍去）
所以椭圆的标准方程为：

y2

6

+

x2

3

=1；
（2）设椭圆的方程为：

x2

p

+

y2

q

=1，p、q均为正数且不相等
∵椭圆经过点P(

3

，-2），Q(-2

3

，1）
∴

( 3 )2 p + (-2)2 q =1 (-2 3 )2 p + 12 q =1

，解之得p=15，q=5
所以椭圆的标准方程为：

x2

15

+

y2

5

=1．

点评：本题在已知椭圆上两点坐标的情况下，求椭圆的标准方程，着重考查了椭圆的标准方程与基本概念，属于基础题．