Question

已知函数上的最小值是a_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明；
（3）在点列A_n（2n，a_n）中，是否存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1？若存在，求出所有数对（i，j），若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（1）∵…（2分）
当且仅当
即时，
f（x）取得最小值，
∴．…（4分）
（2）证明∵，…（6分）
∴
=．…（9分）
（3）不存在．
设A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），（其中i，j∈N^*），
则…（10分）
=…（12分）
=．
故不存在存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1．…（14分）
分析：（1）由，知当且仅当时，f（x）取得最小值，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由，能够证明．
（3）设A_i（2i，a_i），A（2j，a_j），则==．故不存在存在两点A_i，A_j（i，j∈N^*）使直线A_iA_j的斜率为1．
点评：本题考查数列与不等式的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．