Question

两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m²的直角梯形菜园（墙足够长），已知修筑篱笆每米的费用为50元，则修筑这个菜园的最少费用为为

 

元．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意作出图形，设出直角梯形的高和篱笆总长，由面积列式，整理得到y关于x的函数，利用导数求得最值，则答案可求．

解答： 解：如图，

设CD=xm，篱笆总长为ym，（x＞0，y＞0），
则BC=y-2x，
∴54=

1

2

x2+(y-2x)•x，
整理得：y=

3x

2

+

54

x

，
y′=-

54

x2

+

3

2

．
当x∈（0，6）时，y′0．
∴当x=6，篱笆总长有最小值18m．
∴修筑这个菜园的最少费用为18×50=900元．
故答案为：900．

点评：本题考查了数学建模思想方法，考查了利用导数求函数的最值，是中档题．