Question

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上为增函数，在[0，2]上为减函数，又方程f（x）=0有三个根α，2，β．
（I）求c的值并比较f（l）与2的大小；
（II）求|α-β|的取值范围．

Answer 1

解：（I）∵f′（x）=3x²+2bx+c
∵函数f（x）=x³+bx²+cx+d在（-∞，0）上为增函数，在[0，2]上为减函数
∴函数f（x）在x=0时取得极值，即f′（0）=0
∴c=0
∴f（1）=1+b+d
又f′（x）=3x²+2bx的两根为0，-，而方程f（x）=0有三个根α，2，β．
∴-≥2，且8+4b+d=0
∴b≤-3且d=-8-4b
∴f（1）=1+b-8-4b=-7-3b≥2
（Ⅱ）∵f（x）=（x-α）（x-2）（x-β）=x³-（α+β+2）•x²-2αβ
∴α+β+2=-b，-2αβ=d；
∴|β-α|²=（α+β）²-4αβ
=（b+2）²+2d
=b²+4b+4-16-8b
=b²-4b-12
=（b-2）²-16
又∵b≤-3，
∴|β-α|²≥25-16=9
∴|β-α|≥3
当且仅当b=-3时取最小值，此时d=4
故|α-β|的取值范围为[3，+∞）
分析：（I）利用已知函数的单调性可判断函数的一个极值点为x=0，由f′（0）=0即可得c的值，再利用函数的极值点应该在函数的零点之间，且方程的一个零点为2的特点，比较f（l）与2的大小
（II）由于方程f（x）=0有三个根α，2，β．故可设函数为f（x）=（x-α）（x-2）（x-β），展开后找到α、β与b、d的关系，进而利用（I）中的结论，将|α-β|的平方表示为关于b的一元函数，求其取值范围即可
点评：本题主要考查了导数在函数极值中的应用，三次函数的根与极值点间的关系，将变量表示为关于另一变量的函数的能力，代数变换能力，转化化归的思想方法