【题目】已知抛物线上一点到焦点的距离,倾斜角为的直线经过焦点,且与抛物线交于两点、.
(1)求抛物线的标准方程及准线方程;
(2)若为锐角,作线段的中垂线交轴于点.证明:为定值,并求出该定值.
【答案】(1)抛物线的方程为,准线方程为;
(2)为定值,证明见解析.
【解析】
(1)利用抛物线的定义结合条件,可得出,于是可得出点的坐标,然后将点的坐标代入抛物线的方程求出的值,于此可得出抛物线的方程及其准线方程;
(2)设直线的方程为,设点、,将直线的方程与抛物线的方程联立,消去,列出韦达定理,计算出线段的中点的坐标,由此得出直线的方程,并得出点的坐标,计算出和的表达式,可得出,然后利用二倍角公式可计算出为定值,进而证明题中结论成立.
(1)由抛物线的定义知,,.
将点代入,得,得.
抛物线的方程为,准线方程为;
(2)设点、,设直线的方程为,
由,消去得:,则,
,.
设直线中垂线的方程为:,
令,得:,则点,,.
,
故为定值.
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【题目】已知抛物线的焦点为,过的直线交轴正半轴于点,交抛物线于两点,其中点在第一象限.
(Ⅰ)求证:以线段为直径的圆与轴相切;
(Ⅱ)若,,,求的取值范围.
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【题目】已知椭圆的离心率,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4。
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【题目】下列说法中正确的个数是( )
①命题:“、,若,则”,用反证法证明时应假设或;
②若,则、中至少有一个大于;
③若、、、、成等比数列,则;
④命题:“,使得”的否定形式是:“,总有”.
A.B.C.D.
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【题目】对于定义在区间D上的函数,若存在闭区间和常数,使得对任意,都有,且对任意∈D,当时,恒成立,则称函数为区间D上的“平底型”函数.
(Ⅰ)判断函数和是否为R上的“平底型”函数? 并说明理由;
(Ⅱ)设是(Ⅰ)中的“平底型”函数,k为非零常数,若不等式对一切R恒成立,求实数的取值范围;
(Ⅲ)若函数是区间上的“平底型”函数,求和的值.
.
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【题目】已知定义在的奇函数满足:①;②对任意均有;③对任意,均有.
(1)求的值;
(2)利用定义法证明在上单调递减;
(3)若对任意,恒有,求实数的取值范围.
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【题目】已知 ,则关于的方程,给出下列五个命题:①存在实数,使得该方程没有实根;
②存在实数,使得该方程恰有个实根;
③存在实数,使得该方程恰有个不同实根;
④存在实数,使得该方程恰有个不同实根;
⑤存在实数,使得该方程恰有个不同实根.
其中正确的命题的个数是( )
A. B. C. D.
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