Question

9．设函数f（x）=|$\frac{4}{x}$-ax|，若对任意的正实数a，总存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，1]
• C． （-∞，2]
• D． （-∞，3]

Answer 1

分析 对任意的正实数a，总存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m?m≤f（x）_max，x∈[1，4]．令u（x）=$\frac{4}{x}$-ax，a＞0，可得函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，u（x）_max=u（1）=4-a，u（x）_min=1-4a．对a分类讨论即可得出．

解答 解：对任意的正实数a，总存在x₀∈[1，4]，使得f（x₀）≥m?m≤f（x）_max，x∈[1，4]．
令u（x）=$\frac{4}{x}$-ax，∵a＞0，∴函数u（x）在x∈[1，4]单调递减，
∴u（x）_max=u（1）=4-a，u（x）_min=1-4a．
①a≥4时，0≥4-a＞1-4a，则f（x）_max=a-1≥3．
②4＞a＞1时，4-a＞0＞1-4a，则f（x）_max={4-a，a-1}_max＜3．
③a≤1时，4-a＞1-4a≥0，则f（x）_max=4-a≥3．
综上①②③可得：m≤3．
∴实数m的取值范围为（-∞，3]．
故选：D．

点评 本题考查了含绝对值函数的单调性、不等式的解法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．