Question

设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项之和为97²，这样的数列共有

4

个．

Answer 1

分析：设等差数列首项为a，公差为d，由条件可得[2a+（n-1）d]n=2×97²，因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2×97，97²，2×97²四者之一．分d＞0、
d=0两种情况，分别求出n、a、d，从而得出结论．

解答：解：设等差数列首项为a，公差为d，依题意有na+

1

2

n(n-1)d=972，即[2a+（n-1）d]n=2×97² ．
因为n为不小于3的自然数，97为素数，故n的值只可能为97，2×97，97²，2×97²四者之一．
若d＞0，则知2×97²≥n（n-1）d≥n（n-1）＞（n-1）²．
故只可能有n=97．于是 a+48d=97．
此时可得n=97，d=1，a=49 或 n=97，d=2，a=1．
若d=0时，则由（3）得na=97²，此时n=97，a=97 或 n=97²，a=1．
故符合条件的数列共有4个．
故答案为 4．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，属于中档题．