Question

已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心．
（1）求证：BC⊥SA
（2）若S在底面ABC内的射影为O，证明：O为底面△ABC的中心；
（3）若二面角H-AB-C的平面角等于30°，SA=2

3

，求三棱锥S-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由AH⊥面SBC，BC在面SBC内，知H是△SBC的垂心，故SH⊥BC，由此能够证明BC⊥SA．
（2）由SO⊥面ABC，知SO⊥BC，由BC⊥SA，知BC⊥面SOA，故AO⊥BC，同理AB⊥OC，由此能够证明故O为底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=2

3

，设CO交AB于F，则CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，得到∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，由此能求出三棱锥S-ABC的体积．

解答：证明：（1）∵AH⊥面SBC，BC在面SBC内，
∴AH⊥BC，
∵H是△SBC的垂心，∴SH⊥BC，
又∵SH∩AH=H，∴BC⊥面SAH，
∴BC⊥SA．…（4分）

(2)∵SO⊥面ABC，BC在面ABC内∴SO⊥BC，

又∵BC⊥SA，SA∩SO=S，
∴BC⊥面SOA，
∴AO⊥BC，同理AB⊥OC，…（8分）
因此O为底面△ABC的垂心，
而三棱锥S-ABC的底面是正三角形，
故O为底面△ABC的中心．
（3）由（1）有SA=SB=SC=2

3

，
设CO交AB于F，则CF⊥AB，CF是EF在面ABC内的射影，
∴EF⊥AB，∴∠EFC为二面角H-AB-C的平面角，
∠EFC=30°，∠ECF=60°，
OC=

3

，SO=3，AB=3，
S△ABC=

3

4

•32=

9 3

4

，
∴VS-ABC=

1

3

S△ABC•SO=

9 3

9

．…（14分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三角形中心的证明，考查三棱锥体积的求法，解题时要认真审题，仔细解答，合理地化空间问题为平面问题．