Question

8．已知非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的交角为60⁰，且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=1$，则$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的取值范围为$（1，\sqrt{3}]$．

Answer 1

分析 首先通过$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$=1平方后结合基本不等式得到$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≤1$．然后将$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|$平方，展开求出范围．

解答 解：∵非零向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的交角为60⁰，且$|\overrightarrow a-\overrightarrow b|=1$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}+{\overrightarrow{b}}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=1，
所以$|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|+1≥2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，
所以$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|≤1$．
当且仅当$|\overrightarrow{a}|=|\overrightarrow{b}|$=1时取等号．
∴$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}{|}^{2}=|\overrightarrow{a}{|}^{2}+|\overrightarrow{b}{|}^{2}+|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$=2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$+1，
所以1＜2$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$+1≤3
所以$|\overrightarrow a+\overrightarrow b|$的取值范围为（1，$\sqrt{3}$]；
故答案为：$（1，\sqrt{3}]$．

点评 本题考查了向量的数量积定义及其运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于难题