Question

（2009•武汉模拟）已知函数f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

．
（1）求函数f（x）的定义域；          
（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调减区间．

Answer 1

分析：（1）由函数的分母不等于0求得sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，解得x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π（k∈Z），从而得到答案，
（2）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式得

2

sin(x+

π

4

)，根据0≤x≤2π可得

π

4

≤x+

π

4

≤

9π

4

，由

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

2

，且x+

π

4

≠

5π

4

可得函数的定义域．

解答：解：（1）f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

，∴1+sinx+cosx≠0，

2

sin(x+

π

4

)≠-1，
即sin(x+

π

4

)≠-

2

2

，∴x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，（k∈Z）．∴函数的定义域为：{x|x≠2kπ-

π

2

，且x≠2kπ-π，k∈Z．}
（2）由f(x)=

1+sinx+cosx+sin2x

1+sinx+cosx

=

(sinx+cosx)2+(sinx+cosx)

1+sinx+cosx

=sinx+cosx=

2

sin(x+

π

4

)，
而0≤x≤2π，
则有

π

4

≤x+

π

4

≤

9π

4

，由

π

4

≤x+

π

4

≤

3π

2

，且x+

π

4

≠

5π

4

可得

π

4

≤x＜π，π＜x≤

5π

4

．
故f（x）的减区间是：[

π

4

，π)，(π，

5π

4

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调减区间，熟练掌握正弦函数的图象和性质，是解题的关键．