Question

5．有一根长为5cm，截面半径为1cm的圆柱形铁管，用一段铁丝缠绕3圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一条母线的两端，则铁丝的最短长度是$\sqrt{25+36{π}^{2}}$cm．

Answer 1

分析 由题意将在铁管上缠绕4圈转化为将4个相同的圆柱排在一起，画出侧面的平面图形，利用两点间的距离最短求解即可．

解答 解：将铁丝在铁管上缠绕3圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端
则我们可以看成将3个相同的圆柱排在一起，
将3个圆柱侧面展开后得到的平面图形如下图示：
∵圆柱型铁管的长为5cm，底面半径为1cm，
∴每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高5cm，
则大矩形的对角线即为铁丝的长度最小值 $\sqrt{{5}^{2}+（6{π）}^{2}}$=$\sqrt{25+36{π}^{2}}$cm，
所以铁丝的最短长度是$\sqrt{25+36{π}^{2}}$cm．
故答案为：$\sqrt{25+36{π}^{2}}$cm．

点评 本题考查圆柱的结构特征，解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，考查数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用