Question

（2012•临沂二模）已知函数f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）已知锐角三角形ABC的三个内角分别为A、B、C，若f（A-

π

6

）=1，BC=

7

，sinB=

21

7

，求AC的长．

Answer 1

分析：（I）根据倍角的余弦公式和两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式和正弦函数的对称轴进行求解；
（II）把条件代入f（x）的解析式化简，再由A的范围和正弦值求A，结合条件和正弦定理求出边BC．

解答：解：由题意得，f（x）=cos²x+

3

sinxcosx-

1

2

=

1+cos2x

2

+

3

2

sin2x-

1

2

=sin(2x+

π

6

)，
（I）f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π，
由2x+

π

6

=

π

2

+kπ（k∈Z）得，x=

π

6

+

kπ

2

，
则函数的对称轴为：x=

π

6

+

kπ

2

（k∈Z），
（II）由f(A-

π

6

)=1得，sin(2A-

π

6

)=1，
∵0＜A＜

π

2

，∴-

π

6

＜2A-

π

6

＜

5π

6

，则2A-

π

6

=

π

2

，
解得A=

π

3

，
在△ABC中，由正弦定理得，

BC

sinA

=

AC

sinB

，即

7

sin π 3

=

AC

21 7

，
解得AC=2．

点评：本题考查了三角恒等变换、正弦函数的性质的应用，以及正弦定理的综合应用，关键是正确对解析式进行化简，属于中档题．