【题目】如图,在三棱锥中,,,,,.
(1)证明:平面平面;
(2)已知为棱上一点,若,求线段的长.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)取AC中点O,连结SO,BO,则SO=BO=1,且BO⊥AC,从而SO⊥BO,进而BO⊥平面SAC,由此能证明平面SAC⊥平面ABC;
(2)由D为棱SC上一点,四面体ABCD的体积为,过D作DE⊥AC,交AC于E,能求出点D到平面ABC的距离为DE,从而CE,进而AE=2.由此能求出线段AD的长.
(1)在三棱锥S﹣ABC中,SA⊥SC,AB⊥BC,AB=BC,SB=,AC=2,∠SAC=30°.
取AC中点O,连结SO,BO,则SO=BO=1,且BO⊥AC,∴SO2+BO2=SB2,∴SO⊥BO,
∵SO∩AC=O,∴BO⊥平面SAC,∵BO平面ABC,∴平面SAC⊥平面ABC.
(2)D为棱SC上一点,四面体ABCD的体积为,
=1,
过D作DE⊥AC,交AC于E,则点D到平面ABC的距离为DE=h,
则VABCD===,
解得DE=h=,∴CE==,∴AE=2﹣=.
∴线段AD的长为:AD===.
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【题目】图1是一个水平摆放的小正方体木块,图2,图3是由这样的小正方体木块叠放而成的,按照这样的规律放下去,至第七个叠放的图形中,小正方体木块总数就是( )
A. 25B. 66C. 91D. 120
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【题目】设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,其中为原点, 为椭圆的离心率.
(1)求椭圆的方程及离心率的值;
(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且,求直线的斜率的取值范围.
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【题目】中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人各应偿还升, 升, 升,1斗为10升,则下列判断正确的是( )
A. , , 依次成公比为2的等比数列,且
B. , , 依次成公比为2的等比数列,且
C. , , 依次成公比为的等比数列,且
D. , , 依次成公比为的等比数列,且
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【题目】(本小题满分12分)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为轴,焦点为,抛物线上一点的横坐标为,且.
(Ⅰ)求此抛物线的方程;
(Ⅱ)过点做直线交抛物线于两点,求证:.
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【题目】如图,在三棱台ABCDEF中,平面BCFE⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.
(1)求证:BF⊥平面ACFD;
(2)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.
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