Question

已知数列{a_n}的前n项和是S_n，满足S_n=2a_n-1．
（1）求数列的通项a_n及前n项和S_n；
（2）若数列{b_n}满足bn=

1	log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

(n∈N*)，求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）若对任意的x∈R，恒有T_n＜x²-ax+2成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）、根据题中已知条件先求出数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，然后求出数列an的通项公式，根据等比数列前n项和的公式便可求出Sn的表达式；
（2）、将（1）中求得的Sn的表达式代入bn的表达式中即可求得bn的通项公式，然后即可求出数列{b_n}的前n项和T_n的表达式；
（3）、将（2）中求得的Tn的表达式代入T_n＜x²-ax+2，进一步推理即可得出x²-ax+1≥0在R上恒成立，即可求出a的取值范围．

解答：解：（1）当n=1时，S₁=2a₁-1，a₁=1，
当n≥2时，S_n-1=2a_n-1-1
∴a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1
∴a_n=2a_n-1（3分）
∴数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列．
∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
Sn=

1-2n

1-2

=2n-1(n∈N*)．

（2）bn=

1

log2(Sn+1)•log2(Sn+1+1)

=

1

log22n•log22n+1

=

1

n(n+1)

(n∈N*)
∴Tn=

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

++

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

++

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

(n∈N*)

（3）由T_n＜x²-ax+2恒成立，
即

n

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
即1-

1

n+1

＜x2-ax+2恒成立，
必须且只须满足1≤x²-ax+2恒成立，
即x²-ax+1≥0在R上恒成立
∴△=（-a）²-4×1≤0，
解得-2≤a≤2．

点评：本题主要考查了等比数列的基本性质以及数列与不等式的综合，考查了学生的计算能力和对数列与不等式的综合掌握，解题时注意整体思想和转化思想的运用，属于中档题．