Question

判断函数y=x+

4

x

在（0，2]、[2，+∞）上的单调性．

Answer 1

分析：设0＜x₁＜x₂，化简 y₁-y₂ 的解析式到因式乘积的形式，假如0＜x₁＜x₂＜2，
 判断y₁-y₂的符号，得出结论；  假如2＜x₁＜x₂，判断y₁-y₂ 的符号，得出结论．

解答：解：设0＜x₁＜x₂，
则 y₁-y₂
=（x₁+

4

x1

）-（x₂+

4

x2

）
=（x₁-x₂）+（

4

x1

-

4

x2

）
=（x₁-x₂）+[

4(x2-x1)

x1x2

]
=（x₁-x₂）[1-（

4

x1x2

）]
（1）假如0＜x₁＜x₂＜2，则 0＜x₁x₂＜4，

4

x1x2

＞1，1-

4

x1x2

＜0，
x₁-x₂＜0，
所以，y₁-y₂＞0，y₁＞y₂，函数单调递减
（2）假如2＜x₁＜x₂，则 x₁x₂＞4，

4

x1x2

＜1，1-

4

x1x2

＞0，
又x₁-x₂＜0，
所以，y₁-y₂＜0，y₁＜y₂，函数单调递增
所以函数在（0，2）内单调递减；在[2，+∞）内单调递增．

点评：本题考查利用函数的单调性的定义证明函数的单调性，体现分类讨论的数学思想．